Происхождение слова стлать

см. стелю́.

СТЛАТЬ, СТЕЛЮ. Общеслав. Родственно греч. stellō «ставить», лат. latus «широкий» и т. д. Корень тот же, что в стол, тло, с р на месте л — в сторона, простираться.

См. также: значение слова стлать в толковых словарях.